1.6. Свойства арифметических действий

Свойства сложения. Здесь $a$, $b$, $c$ — любые числа.

1. Переместительное свойство: $a + b = b + a$. От перестановки слагаемых сумма не меняется.

2. Сочетательное свойство: $(a + b) + c = a + (b + c)$. Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего.

Свойства умножения.

3. Переместительное свойство: $a \cdot b = b \cdot a$. От перестановки множителей произведение не меняется.

4. Сочетательное свойство: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.

С помощью этих свойств слагаемые (множители) можно переставлять и удобно группировать, то есть вычислять удобным способом. Полезные пары: $25 \cdot 4 = 100$, $125 \cdot 8 = 1000$, $2 \cdot 5 = 10$.

Пример 1: $46 + 325 + 54 + 75 = (46 + 54) + (325 + 75) = 100 + 400 = 500$.

Пример 2: $37 \cdot 15 + 63 \cdot 15 = (37 + 63) \cdot 15 = 100 \cdot 15 = 1500$.

На рисунке Пример 2: площади двух прямоугольников шириной $15$ равны $37 \cdot 15$ и $63 \cdot 15$; вместе они образуют один прямоугольник длиной $37 + 63 = 100$, поэтому сумма равна .

Пример 3: $98 \cdot 6 = (100 - 2) \cdot 6 = 600 - 12 = 588$.

Способ Гаусса: в сумме $1 + 2 + \ldots + 100$ объединяем крайние числа в пары: $1 + 100 = 101$, $2 + 99 = 101$, … Всего пар, поэтому сумма равна .

На рисунке крайние числа соединены дугами в пары: сумма каждой пары равна $101$.

Частая ошибка: при раскрытии скобок умножать число только на одно слагаемое. $(40 + 7) \cdot 3 \ne 40 \cdot 3 + 7$, правильно: $40\cdot 3+7\cdot 3=141$.