2.1. Делители натурального числа. Кратные натурального числа

Делитель. Если натуральное число $a$ делится на натуральное число $b$ без остатка, то $b$ называют делителем числа $a$. Например, $15 : 3 = 5$, поэтому $3$ — делитель числа $15$. А $15 : 4 = 3$ (остаток $3$), поэтому $4$ не является делителем $15$.

Кратное. В этом же случае $a$ называют кратным числа $b$: $15$ кратно $3$. «$3$ — делитель $15$» и «$15$ кратно » — два способа сказать одно и то же.

Запись: Д(15) = {1, 3, 5, 15} — все делители числа $15$; К(14) = {14, 28, 42, 56, ...} — кратные числа $14$.

Основные правила:

1. Число $1$ — делитель любого натурального числа.

2. Наибольший делитель числа — само это число. Делителей конечное число.

3. Наименьшее кратное числа — само это число. Кратных бесконечно много: чтобы их найти, умножаем число на $1, 2, 3, 4, \ldots$

4. Пары делителей: если $a = b \cdot c$, то и — пара делителей числа . Произведение чисел пары равно самому числу.

Пример 1: найдём делители $24$ парами: $1 \cdot 24$, $2 \cdot 12$, $3 \cdot 8$, $4 \cdot 6$. Значит, Д(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} — делителей. Когда первое число пары растёт, второе уменьшается; как только они «встретились», поиск закончен.

На рисунке делители $24$ записаны по возрастанию; произведение двух чисел, соединённых дугой, равно $24$: $1 \cdot 24$, $2 \cdot 12$, $3 \cdot 8$, .

Пример 2: кратные $12$, меньшие $50$: $12 \cdot 1 = 12$, $12 \cdot 2 = 24$, , . Следующее .

На рисунке на числовом луче шагаем от $0$ по $12$: $12, 24, 36, 48$ меньше $50$, а $60$ — уже за границей.

Пример 3 (уравнение через пары делителей): $x \cdot (x + 3) = 40$. Пары для $40$: $1 \cdot 40$, $2 \cdot 20$, , . Пара с разностью — это и , значит . .

Частая ошибка: путать делитель и кратное. $6$ — делитель $30$ ($30 : 6 = 5$), а $30$ — кратное $6$. Ещё одна ошибка — забыть включить в список делителей $$ и само число.