2.2. Простые числа. Составные числа

Натуральные числа по количеству делителей делятся на три группы.

Простое число — натуральное число, у которого ровно два делителя: $1$ и само число. Например: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, \ldots$

Составное число — натуральное число, у которого больше двух делителей. Например: $4, 6, 8, 9, 10, 12, \ldots$; у числа $15$ делители $1, 3, 5, 15$ — их четыре, значит, — составное.

На рисунке $7$ точек можно выложить прямоугольником только в один ряд ($1 \cdot 7$) — $7$ простое; а $15$ точек можно выложить и прямоугольником $3 \cdot 5$ — $$ составное.

Число $1$ имеет только один делитель. Оно не является ни простым, ни составным.

Запомним:

1. Наименьшее простое число — $2$. Это единственное чётное простое число: все остальные чётные числа делятся на $2$, значит, составные.

2. Наименьшее составное число — $4$.

3. Простых чисел бесконечно много: наибольшего простого числа не существует.

4. Два простых числа, разность которых равна $2$, называют числами-близнецами: $3$ и $5$, и .

Решето Эратосфена — способ найти все простые числа до заданного числа. Выписываем числа начиная с $1$ и вычёркиваем $1$. Первое невычеркнутое число $2$ — простое; вычёркиваем все его кратные, кроме него самого. Следующее невычеркнутое число $3$ — простое; вычёркиваем его кратные. Затем $5$, $7$, … В конце остаются только простые числа. Остановиться можно, когда произведение числа на само себя превышает границу: до достаточно вычеркнуть кратные , ведь .

Пример 1: простые числа от $1$ до $30$: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29$ — всего .

На рисунке к числам от $1$ до $30$ применено решето Эратосфена: $1$ и составные числа вычеркнуты, $10$ чисел в кружках — простые.

Пример 2: простое ли $87$? $87 : 3 = 29$, значит, $87 = 3 \cdot 29$ — составное.

Пример 3: запишем $30$ в виде суммы двух простых чисел: $30 = 7 + 23 = 11 + 19 = 13 + 17$.

Частая ошибка: считать $1$ простым числом или думать, что «нечётное число — значит простое». $9, 15, 21, 27, 51, 57$ — нечётные, но составные.