2.3. Основные свойства делимости

В этой теме мы учимся определять, делится или не делится число на данное, не вычисляя само число. Напомним: число $a$ делится на $c$, если его можно записать в виде $a = c \cdot n$, где $n$ — натуральное число.

Основные свойства делимости:

1. Делимость произведения. Если хотя бы один из множителей делится на $c$, то и произведение делится на $c$: $a = c \cdot n \Rightarrow a \cdot b = c \cdot (n \cdot b)$.

На рисунке $40 + 7$ точек разбиты на группы по $4$: $40$ точек дают $10$ полных групп, а так как $7 = 4 + 3$, остаются лишние точки — на не делится.

Пример 1: $(45 \cdot 16) : 9$. Здесь $45 = 9 \cdot 5$, поэтому $(45 \cdot 16) : 9 = 5 \cdot 16 = 80$. Вычислять всё произведение не нужно.

Пример 2: $(91 + 52) : 13 = 91 : 13 + 52 : 13 = 7 + 4 = 11$. Каждое слагаемое делится на , поэтому их можно делить по отдельности.

На рисунке $91$ — это $7$ частей по $13$, $52$ — $4$ части по $13$; всего $7 + 4 = 11$ частей, то есть .

Пример 3: $(36x - 24y) : 12 = 3x - 2y$.

Частая ошибка: применять свойства в обратную сторону. Произведение $4 \cdot 9 = 36$ делится на $6$, но ни $4$, ни $9$ на $6$ не делятся. Сумма $$ делится на , но ни , ни на не делятся. Значит, свойства вида «если ..., то ...» работают только в одну сторону.