2.4. Признаки делимости натуральных чисел на 2, 5 и 10

Признак делимости — правило, по которому, не выполняя деления, по записи числа (по его цифрам) можно узнать, делится ли оно на другое число.

Чётные цифры: $0, 2, 4, 6, 8$. Нечётные цифры: $1, 3, 5, 7, 9$.

Чётное число — число, которое делится на 2 ($6$, $38$, $1\,250$). Нечётное число — число, которое не делится на 2 ($7$, $41$, $2\,019$).

Признаки делимости (смотрим только на последнюю цифру — цифру разряда единиц):

1. Число, запись которого оканчивается чётной цифрой, делится на 2: $3\,574 : 2 = 1\,787$.

2. Число, запись которого оканчивается цифрой $0$ или $5$, делится на 5: $835 : 5 = 167$, .

На рисунке в верхней строке — последняя цифра числа; знак ✓ показывает, что число с такой последней цифрой делится на $2$, на $5$ или на $10$. В столбце $0$ стоят все три знака.

5. Остаток от деления на 2, на 5, на 10 зависит только от последней цифры: $4\,738$ при делении на 10 даёт остаток $8$, а при делении на 5 — остаток $8 - 5 = 3$.

Свойства чётных и нечётных чисел: чётное + чётное = чётное; нечётное + нечётное = чётное; чётное + нечётное = нечётное; если хотя бы один множитель чётный, произведение чётное; если все множители нечётные, произведение нечётное.

Пример 1: какую цифру поставить вместо $*$ в числе $52{*}$, чтобы оно делилось на 5, но не делилось на 2? Для делимости на 5: $* = 0$ или $* = 5$. $520$ — чётное, значит : .

На рисунке вместо $*$ в числе $52{*}$ пробуем поставить $0$ или $5$: $520$ — чётное, поэтому вычеркнуто; $525$ — верный ответ.

Пример 2: делится ли сумма $345 + 128$ на 2? $345$ — нечётное, $128$ — чётное, нечётное + чётное = нечётное. Значит, не делится ($473$ — нечётное).

Пример 3: от $1$ до $40$ на 5 делятся числа $5, 10, \ldots, 40$ — всего $40 : 5 = 8$ чисел.

Частая ошибка: думать, что «число, делящееся на 5, нечётное». $10$, $20$, $350$ делятся на 5 и чётные. Ещё одна ошибка — смотреть на первую цифру числа. $2\,341$ — нечётное число, так как его последняя цифра $1$.