2.5. Признаки делимости натуральных чисел на 3 и 9

Делится ли число на $3$ или на $9$, можно узнать, не выполняя деления, — по сумме его цифр.

Признак делимости на $3$: если сумма цифр числа делится на $3$, то и число делится на $3$. Если сумма цифр не делится на $3$, то и число не делится на $3$.

Признак делимости на $9$: если сумма цифр числа делится на $9$, то и число делится на $9$. Если сумма цифр не делится на $9$, то и число не делится на $9$.

Почему так? $10 = 9 + 1$, $100 = 99 + 1$, $1000 = 999 + 1$. Поэтому . Здесь всегда делится на (а значит, и на ), и делимость решает только .

Правила:

1. Каждое число, делящееся на $9$, делится и на $3$. Обратное неверно: $12$ делится на $3$, но не делится на $9$.

На рисунке в большой области — числа, делящиеся на $3$, а в круге внутри неё — делящиеся на $9$: $612$, $27$. $12$, $4371$, $2130$ делятся на , но не на ; , на не делятся.

2. Если число делится и на $2$, и на $3$, то оно делится на $6$.

3. Если число делится и на $3$, и на $5$, то оно делится на $15$.

4. Если число делится и на $$, и на , то оно делится на .

Пример 1: $4371$: $4 + 3 + 7 + 1 = 15$. $15$ делится на $3$, но не делится на . Значит, делится на , но не делится на .

На рисунке складываем цифры числа $4371$: $4 + 3 + 7 + 1 = 15$; $15$ делится на $3$, но не делится на .

Пример 2: Какую цифру поставить вместо звёздочки, чтобы $6{*}2$ делилось на $9$? $6 + 2 = 8$, сумма $8 + {*}$ должна делиться на : . Цифра , число , .

Пример 3: Делится ли $2130$ на $15$? Оканчивается на $0$ — делится на $5$; $2 + 1 + 3 + 0 = 6$ — делится на . Значит, делится на : .

Частая ошибка: определять делимость на $3$ по последней цифре. Числа $13$, $23$ оканчиваются на $3$, но на $3$ не делятся; а $27$ оканчивается на $7$, но делится на . Делимость на , , определяется последней цифрой, а на и — .