2.6. Степень числа

Степень — краткая запись произведения одинаковых множителей. Произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$, записывают как $a^n$ ($n > 1$):

$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ раз}}$.

Здесь $a$ — основание степени (повторяющийся множитель), $n$ — показатель степени (сколько раз повторяется множитель). $a^n$ читается: «$a$ в $n$-й степени». Результат умножения называют значением степени: $$.

На рисунке, начиная с $3$, на каждом шаге умножаем на $3$: $3,\ 9,\ 27,\ 81,\ 243$ — это $3^1,3^2,3^3,3^4,{}^{}$.

Правила:

1. Вторая степень числа — его квадрат: $7^2 = 49$ («7 в квадрате»). Третья степень — его куб: $4^3 = 64$ («4 в кубе»).

На рисунке квадрат со стороной $7$ разбит на $7^2 = 49$ единичных квадратов, куб с ребром $4$ — на $4^3 = 64$ кубика.

2. Первая степень любого числа равна самому числу: $a^1 = a$. Также $1^n = 1$.

3. Разрядные единицы — степени числа $10$: , , . Показатель равен количеству нулей. Например, .

Пример 1: $2 \cdot 5^2 + 4^3 = 2 \cdot 25 + 64 = 50 + 64 = 114$.

Пример 2: $(13 - 3^2)^3 = (13 - 9)^3 = 4^3 = 64$.

Пример 3: $360 : 6^2 = 360 : (6 \cdot 6) = 360 : 36 = 10$. Заменяя степень произведением, берём его в скобки.

Частая ошибка: путать $a^n$ с $a \cdot n$. $5^3 \ne 5 \cdot 3 = 15$, правильно . Также и — разные числа: и .