2.7. Разложение составных чисел на простые множители

Разложить число на простые множители — значит записать составное число в виде произведения только простых чисел. Например: $15 = 3 \cdot 5$, $28 = 2 \cdot 2 \cdot 7$, $90 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$. Простые числа в таком произведении называют простыми множителями.

Правила:

1. Любое составное число можно разложить на простые множители. Простое число уже простое, его не раскладывают; $1$ — не простое число и в разложение не пишется.

2. Способ 1. Записываем число в виде произведения любых двух множителей; если среди них есть составное число, раскладываем и его, и т. д.: $84 = 4 \cdot 21 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7$ или .

На рисунке два разных дерева множителей для $84$: $84 = 4 \cdot 21$ и $84 = 6 \cdot 14$. В обоих в конце получаются одни и те же простые множители (жёлтые): $2, 2, 3, 7$.

3. Способ 2 (столбиком). Справа от числа проводим вертикальную черту, справа пишем наименьший простой делитель числа, частное — слева под числом. Повторяем, пока не получим $1$. Помогают признаки делимости на $2$, $3$, $5$, $9$, $10$.

4. Разложение единственно: набор простых множителей один и тот же, может отличаться только порядок записи.

Пример 1: разложим $420$ столбиком: $420 : 2 = 210$, $210 : 2 = 105$, $105 : 3 = 35$, , . Значит, .

На рисунке разложение $420$ столбиком: справа от черты — наименьшие простые делители $2, 2, 3, 5, 7$, слева — частные.

Пример 2: $a = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7$, $b = 3 \cdot 7$. Тогда $a=b\cdot 2\cdot 3$, значит — нашли, не вычисляя самих чисел.

Пример 3: площадь прямоугольника $35$ см², стороны — простые числа. $35 = 5 \cdot 7$, стороны $5$ см и $7$ см.

Частая ошибка: не доводить разложение до конца. $60 = 4 \cdot 15$ — верное равенство, но не разложение на простые множители: $4$ и $15$ — составные. Правильно: $60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$. В конце проверьте, что каждый множитель простой.