3.10. Аликвотные дроби

Аликвотная дробь (единичная дробь) — дробь, у которой числитель равен $1$, а знаменатель — натуральное число, отличное от $1$: $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{1}{3}$, $\dfrac{1}{10}$, $\dfrac{1}{57}$. Древние египтяне записывали почти все дроби с помощью таких «долей».

Свойства аликвотных дробей:

1. Любая аликвотная дробь — правильная, то есть меньше $1$: $\dfrac{1}{8} < 1$.

2. Из двух аликвотных дробей больше та, у которой знаменатель меньше: $\dfrac{1}{5} > \dfrac{1}{9}$.

Пример 1: $\dfrac{5}{8} = \dfrac{4}{8} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{8}$.

На рисунке круг разделён на $8$ равных частей: $5$ закрашенных частей — это половина круга ($\dfrac{1}{2}$, синяя) и ещё одна часть $\dfrac{1}{8}$ (жёлтая).

Пример 2: $\dfrac{3}{5}$. Приведём к знаменателю $10$: $\dfrac{3}{5} = \dfrac{6}{10} = \dfrac{5}{10} + \dfrac{1}{10} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{10}$ ( и — делители ).

Пример 3: $\dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{20}$, так как .

На рисунке нижняя полоска разделена на $20$ равных частей: $\dfrac{1}{5} = \dfrac{4}{20}$ (синее) и (жёлтое) вместе равны на верхней полоске.

Пример 4: $\dfrac{1}{3 \cdot 4} + \dfrac{1}{4 \cdot 5} = \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{5} = \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5} = \dfrac{2}{15}$.

Частая ошибка: складывать отдельно числители и знаменатели аликвотных дробей: $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \ne \dfrac{2}{5}$. Верно: . Также запись не подходит — знаменатели должны быть разными.