3.11. Умножение обыкновенных дробей, умножение смешанных чисел

Умножение дробей можно понять через сложение одинаковых слагаемых: $\dfrac{2}{9} \cdot 4 = \dfrac{2}{9} + \dfrac{2}{9} + \dfrac{2}{9} + \dfrac{2}{9} = \dfrac{8}{9}$.

На рисунке полоска разделена на $9$ равных частей; подряд отложены $4$ части по $\dfrac{2}{9}$ — всего $\dfrac{8}{9}$.

Правила умножения:

1. Умножение дроби на натуральное число: числитель умножаем на это число, знаменатель оставляем: $\dfrac{a}{b} \cdot n = \dfrac{a \cdot n}{b}$.

Умножение на дробь — это нахождение дроби от числа: $40 \cdot \dfrac{3}{8} = \dfrac{40 \cdot 3}{8} = 15$, то есть от . Произведение с буквой записывают так: , где — коэффициент.

Пример 1: $\dfrac{5}{12} \cdot \dfrac{9}{10} = \dfrac{5 \cdot 9}{12 \cdot 10}$. Сокращаем и на , и на : .

На рисунке единичный квадрат разделён на $12 \cdot 10 = 120$ равных частей; в закрашенном прямоугольнике шириной $\dfrac{5}{12}$ и высотой $\dfrac{9}{10}$ — частей: .

Пример 2: $2\dfrac{2}{3} \cdot 1\dfrac{1}{8} = \dfrac{8}{3} \cdot \dfrac{9}{8} = \dfrac{8 \cdot 9}{3 \cdot 8} = 3$.

Пример 3: $\dfrac{7}{20} \cdot 6 = \dfrac{7 \cdot 6}{20} = \dfrac{21}{10} = 2\dfrac{1}{10}$.

Частая ошибка: умножать целые и дробные части смешанных чисел по отдельности: $2\dfrac{1}{2} \cdot 2\dfrac{1}{2} \ne 4\dfrac{1}{4}$. Верно: . Ещё одна ошибка — при умножении дроби на натуральное число умножать и знаменатель.