3.12. Взаимно обратные числа

Взаимно обратные числа — два числа, произведение которых равно $1$. Например, $\dfrac{4}{9}$ и $\dfrac{9}{4}$ — взаимно обратные числа, так как $\dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{9}{4} = \dfrac{4 \cdot 9}{9 \cdot 4} = 1$.

На рисунке длина полоски равна $\dfrac{9}{4}$ (каждая часть — $\dfrac{1}{4}$). Если разделить её на $9$ равных частей и взять из них, получится ровно : .

Правила нахождения обратного числа:

1. Чтобы найти число, обратное обыкновенной дроби, меняем местами числитель и знаменатель: число, обратное $\dfrac{a}{b}$, — это $\dfrac{b}{a}$.

2. Число, обратное натуральному, — дробь с числителем и знаменателем, равным этому числу: число, обратное , — . И наоборот, число, обратное , — это .

Полезные свойства: число, обратное правильной дроби, больше $1$; число, обратное числу больше $1$, — правильная дробь. Чем больше число, тем меньше обратное ему число. Решение уравнения $a \cdot x = 1$ — число, обратное $a$.

Пример 1: $3\dfrac{2}{5} = \dfrac{3 \cdot 5 + 2}{5} = \dfrac{17}{5}$, поэтому число, обратное , — .

Пример 2: $\dfrac{7}{11} \cdot 23 \cdot \dfrac{11}{7}$. Перемножим сначала взаимно обратные числа: , тогда выражение равно .

Пример 3: Труба наполняет бассейн за $8$ часов. Значит, за $1$ час она наполняет $\dfrac{1}{8}$ бассейна. И наоборот, если за час наполняется $\dfrac{1}{8}$ бассейна, весь бассейн наполнится за часов.

На рисунке бассейн разделён на $8$ равных частей: за $1$ час — $\dfrac{1}{8}$ бассейна, за $8$ часов — весь бассейн.

Частая ошибка: у смешанного числа переворачивают только дробную часть: число, обратное $2\dfrac{1}{3}$, — не $2\dfrac{3}{1}$, а . Ещё одна ошибка — путать обратное число с дополнением до : число, обратное , — не , а .