3.13. Деление обыкновенных дробей. Деление смешанных чисел

Деление — действие, обратное умножению. Частное $\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d}$ — это число, которое при умножении на $\dfrac{c}{d}$ даёт $\dfrac{a}{b}$.

Правило деления дробей: чтобы разделить дробь на дробь, нужно делимое умножить на число, обратное делителю: $\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c} = \dfrac{a \cdot d}{b \cdot c}$.

Правила деления:

1. Записываем число, обратное делителю (меняем местами числитель и знаменатель), затем умножаем. Перед умножением по возможности сокращаем.

2. Чтобы разделить смешанные числа, сначала переводим их в неправильные дроби, затем применяем правило 1.

3. Натуральное число на дробь: записываем $n = \dfrac{n}{1}$, тогда $n : \dfrac{a}{b} = \dfrac{n \cdot b}{a}$.

Пример 1: $\dfrac{8}{9} : \dfrac{4}{15} = \dfrac{8}{9} \cdot \dfrac{15}{4} = \dfrac{2 \cdot 5}{3 \cdot 1} = \dfrac{10}{3} = 3\dfrac{1}{3}$.

На рисунке делитель $\dfrac{4}{15}$ переворачивается в $\dfrac{15}{4}$, а знак деления заменяется умножением.

Пример 2: $3\dfrac{3}{4} : 1\dfrac{7}{8} = \dfrac{15}{4} : \dfrac{15}{8} = \dfrac{15}{4} \cdot \dfrac{8}{15} = 2$.

На рисунке в полоске длиной $3\dfrac{3}{4}$ отрезок длиной $1\dfrac{7}{8}$ укладывается ровно $$ раза (каждая маленькая часть — ).

Пример 3: $\dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{6} : \dfrac{5}{9} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{9}{5} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2} = 2$ (деление выполняется раньше сложения).

Частая ошибка: брать число, обратное делимому, а не делителю, или делить смешанные числа отдельно по целым и дробным частям. Например, $4\dfrac{1}{2} : 1\dfrac{1}{2} \ne 4 : 1 + \dfrac{1}{2} : \dfrac{1}{2} = 5$. Верно: .