3.15. Задачи на совместную работу

В задачах, где два или несколько рабочих, труб, машин выполняют одну работу совместно, сама работа (объём бассейна, длина дороги, задание) неизвестна. Поэтому всю работу принимаем за $1$.

Производительность — часть работы, выполняемая за единицу времени (за 1 час, 1 день, 1 минуту). Если рабочий выполняет всю работу за $t$ часов, то за 1 час он выполняет $\dfrac{1}{t}$ часть работы.

Основные правила:

1. При совместной работе производительности складываются: $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}$.

2. Время совместной работы $=$ (совместная производительность).

Пример 1: первая бригада ремонтирует дорогу за $10$ дней, вторая — за $15$ дней. Вместе: $\dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{15} = \dfrac{3}{30} + \dfrac{2}{30} = \dfrac{5}{30} = \dfrac{1}{6}$ (дороги) — за 1 день. Вся дорога: (дней).

На рисунке все три полоски — вся дорога. Полоска $A$ разделена на $10$ частей, полоска $B$ — на $15$, закрашена работа за 1 день. Нижняя полоска разделена на $30$ частей: $3$ синие и $2$ жёлтые части, всего .

Пример 2: две трубы вместе наполняют бассейн за $6$ часов, первая одна — за $10$ часов. Вторая за 1 час: $\dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{10} = \dfrac{5}{30} - \dfrac{3}{30} = \dfrac{1}{15}$, т. е. одна она наполнит бассейн за часов.

Пример 3: труба $A$ наполняет пустой бассейн за $4$ часа, труба $B$ опустошает полный бассейн за $6$ часов. Если открыты обе, за 1 час наполняется $\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{12} - \dfrac{2}{12} = \dfrac{1}{12}$ бассейна, а весь бассейн — за часов.

На рисунке труба $A$ наливает воду в бассейн (синяя стрелка), труба $B$ выпускает воду (красная стрелка); числа — часы.

Частая ошибка: складывать время или брать среднее: $10 + 15 = 25$ дней или $(10 + 15) : 2 = 12\dfrac{1}{2}$ дня. При совместной работе всё делается , чем у каждого по отдельности, поэтому ответ должен быть меньше .