3.6. Приведение обыкновенных дробей и смешанных чисел к общему знаменателю

Дополнительный множитель — число, на которое умножают и числитель, и знаменатель дроби при приведении её к новому знаменателю. Его находят, разделив новый знаменатель на старый знаменатель дроби. По основному свойству дроби её значение при этом не меняется.

Пример 1: приведём $\dfrac{4}{9}$ к знаменателю $45$. Дополнительный множитель: $45 : 9 = 5$. Тогда $\dfrac{4}{9} = \dfrac{4 \cdot 5}{9 \cdot 5} = \dfrac{20}{45}$.

Приведение к общему знаменателю — замена нескольких дробей равными им дробями с одинаковыми знаменателями. Общий знаменатель должен делиться на каждый знаменатель без остатка. Наименьший общий знаменатель — это НОК знаменателей.

Правило приведения дробей к наименьшему общему знаменателю:

1. находим НОК знаменателей — это наименьший общий знаменатель;

2. делим общий знаменатель на знаменатель каждой дроби и находим дополнительные множители;

3. умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель.

Пример 2: $\dfrac{5}{12}$ и $\dfrac{7}{18}$. $12={}^{}$, , НОК. Дополнительные множители: , . Тогда , .

На рисунке каждая двенадцатая доля разделена на $3$ части, а каждая восемнадцатая — на $2$ части: обе дроби изображаются полосками из $36$ равных частей, их значения не меняются.

Смешанные числа при приведении к общему знаменателю сохраняют целые части, к общему знаменателю приводятся только дробные части.

Пример 3: $3\dfrac{1}{6}$ и $2\dfrac{3}{8}$. НОК$$; , . Получаем и .

Натуральное число можно записать дробью с любым знаменателем: $5 = \dfrac{5 \cdot 7}{7} = \dfrac{35}{7}$. Можно также превратить одну единицу в дробь: .

Если дроби сократимы, сначала лучше их сократить — общий знаменатель получится меньше.

Частые ошибки: забыть умножить числитель ($\dfrac{5}{12} = \dfrac{5}{36}$ — неверно); перепутать дополнительные множители; взять произведение знаменателей вместо наименьшего общего знаменателя ($12\cdot$ — общий знаменатель, но не наименьший); умножить ещё и целую часть смешанного числа.