3.8. Сложение и вычитание обыкновенных дробей

Результаты сложения и вычитания дробей называются так же, как у натуральных чисел: сумма и разность. Прежде чем выполнять действие, смотрим на знаменатели дробей.

Сложение (вычитание) дробей с одинаковыми знаменателями: складываем (вычитаем) числители, результат записываем в числитель, а знаменатель оставляем тем же:

$\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a + b}{c}$, $\quad \dfrac{a}{c} - \dfrac{b}{c} = \dfrac{a - b}{c}$ (здесь $a \geq b$).

Сложение (вычитание) дробей с разными знаменателями:

1. приводим дроби к наименьшему общему знаменателю (находим дополнительный множитель каждой дроби и умножаем на него числитель и знаменатель);

2. складываем (вычитаем) дроби с одинаковыми знаменателями;

3. результат по возможности сокращаем, а неправильную дробь записываем в виде смешанного числа.

Вычитание дроби из натурального числа: используем то, что $1 = \dfrac{c}{c}$: $1 - \dfrac{3}{8} = \dfrac{8}{8} - \dfrac{3}{8} = \dfrac{5}{8}$; .

Переместительное и сочетательное свойства сложения выполняются и для дробей. Поэтому дроби с одинаковыми знаменателями удобно записывать рядом и складывать группами.

В уравнениях действуют прежние правила: если $x + a = b$, то $x = b - a$; если $x - a = b$, то .

Пример 1: $\dfrac{3}{10} + \dfrac{1}{10} = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}$ (сократили результат на ).

На рисунке $\dfrac{3}{10}$ (синее) и $\dfrac{1}{10}$ (жёлтое) вместе дают ${\displaystyle }$ — это равно на нижней полоске.

Пример 2: $\dfrac{5}{6} + \dfrac{3}{8}$. НОК$(6, 8) = 24$, дополнительные множители и : .

Пример 3: $\dfrac{7}{12} - \dfrac{4}{15}$. НОК$(12, 15) = 60$: .

Частая ошибка: складывать числитель с числителем, а знаменатель со знаменателем: $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \neq \dfrac{2}{5}$! Правильно: . И не забывайте сокращать ответ.

На рисунке сумма $\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{6}$ и ${\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{}{}}$ — это круга, а не .