3.9. Сложение и вычитание смешанных чисел

Смешанное число можно рассматривать как сумму целой и дробной частей: $3\dfrac{2}{5} = 3 + \dfrac{2}{5}$. Поэтому при сложении и вычитании смешанных чисел работаем отдельно с целыми частями и отдельно с дробными частями.

На рисунке число $3\dfrac{2}{5}$: $3$ целых круга и круг, у которого закрашены $2$ из $5$ равных частей.

Сложение смешанных чисел:

1. Если знаменатели дробных частей разные, приводим их к наименьшему общему знаменателю.

2. Отдельно складываем целые части и отдельно — дробные части.

3. Если дробная часть получилась неправильной дробью, выделяем из неё целую часть и прибавляем её к целой части. Дробную часть по возможности сокращаем.

Вычитание смешанных чисел:

1. Приводим дробные части к наименьшему общему знаменателю.

2. Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, «занимаем» $1$ единицу из целой части уменьшаемого и добавляем её к дробной части: $5\dfrac{1}{4} = 4\dfrac{5}{4}$.

На рисунке одно целое из $5\dfrac{1}{4}$ разделено на $4$ четверти: $4$ целых и $5$ четвертей (жёлтые), то есть $4{\displaystyle }$.

3. Отдельно вычитаем целые части и отдельно — дробные части.

4. Чтобы вычесть смешанное число из натурального, записываем натуральное число в виде смешанного: $7 = 6\dfrac{3}{3}$, тогда $7 - 2\dfrac{1}{3} = 6\dfrac{3}{3} - 2\dfrac{1}{3} = 4\dfrac{2}{3}$.

Переместительное и сочетательное свойства сложения выполняются и для смешанных чисел: удобно группировать слагаемые, дробные части которых вместе дают целое число.

Пример 1: $3\dfrac{5}{6} + 2\dfrac{3}{4}$. НОК$(6,$: .

Пример 2: $6\dfrac{1}{5} - 2\dfrac{2}{3}$. НОК$(5,$: . , поэтому . Тогда .

Пример 3: $4\dfrac{3}{8} + 1\dfrac{1}{8} = 5\dfrac{4}{8} = 5\dfrac{1}{2}$ — дробь в результате сократили.

Частая ошибка: при вычитании вычитать дробные части «из большего меньшее». Например, для $6\dfrac{1}{5} - 2\dfrac{2}{3}$ ответ $$ неверен. Заняв единицу, не забывайте уменьшить целую часть уменьшаемого на . Нельзя складывать числители с числителями, а знаменатели со знаменателями.