4.10. Арифметические действия с десятичными и обыкновенными дробями

Если в одном выражении встречаются и десятичные, и обыкновенные дроби, то перед выполнением действий все числа приводят к одному виду — либо все записывают десятичными дробями, либо все — обыкновенными.

Какой вид выбрать:

1. Если в знаменателе несократимой обыкновенной дроби нет простых множителей, кроме $2$ и $5$ ($2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, \ldots$), её удобно обратить в десятичную и считать десятичными дробями: $\dfrac{3}{4} = 0{,}75$, $1\dfrac{1}{5} = 1{,}2$.

2. Дробь, в знаменателе которой есть множители $3, 7, 9, 11, \ldots$, не обращается в конечную десятичную дробь ($\dfrac{1}{3} \ne 0{,}3$). Тогда десятичную дробь записывают обыкновенной: , .

3. Порядок действий не меняется: сначала действия в скобках, затем умножение и деление, в конце сложение и вычитание (слева направо).

Пример 1: длина прямоугольника $2\dfrac{1}{2}$ дм, ширина $1{,}6$ дм. Площадь: $2\dfrac{1}{2} \cdot 1{,}6 = 2{,}5 \cdot 1{,}6 = 4$ (дм²).

На рисунке изображён этот прямоугольник: $AD = 2\dfrac{1}{2}$, $AB = 1{,}6$.

Пример 2: $\dfrac{2}{3} + 0{,}25 = \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{8}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{11}{12}$ — здесь считали обыкновенными дробями, так как не обращается в десятичную дробь.

Пример 3: в первый день прошли $0{,}3$ пути длиной $20$ км, во второй — $\dfrac{2}{5}$ пути. Осталось: $1 - 0{,}3 - 0{,}4 = 0{,}3$ пути, то есть (км).

На рисунке путь $20$ км разделён на $10$ равных частей: синие $3$ части — $0{,}3$, жёлтые $4$ части — $\dfrac{2}{5} = 0{,}4$, белые части — оставшийся путь.

Частые ошибки: записывать $\dfrac{3}{4}$ как $0{,}34$, а $2\dfrac{1}{2}$ как (черта дроби — не запятая!); считать, что ; нарушать порядок действий; неверно ставить запятую в произведении или частном.