4.2. Перевод десятичной дроби в обыкновенную и обыкновенной в десятичную

Десятичная дробь — другая запись дроби со знаменателем $10$, $100$, $1000$, … Поэтому любую десятичную дробь можно записать в виде обыкновенной дроби (или смешанного числа).

Перевод десятичной дроби в обыкновенную:

1. число до запятой — целая часть;

2. цифры после запятой — числитель;

3. в знаменатель пишем $1$ и столько нулей, сколько цифр после запятой;

4. если можно, сокращаем дробь.

Пример 1: $0{,}35 = \dfrac{35}{100} = \dfrac{7}{20}$; $\;4{,}008 = 4\dfrac{8}{1000} = 4\dfrac{1}{125}$.

На рисунке квадрат разделён на $100$ клеток, закрашены $35$ из них: $\dfrac{35}{100} = 0{,}35 = \dfrac{7}{20}$.

Перевод обыкновенной дроби в десятичную. Знаменатель дроби нужно привести к одному из чисел $10$, $100$, $1000$, … Простые множители этих чисел — только $2$ и $5$, причём их поровну: $10 = 2 \cdot 5$, , .

Несократимую дробь можно записать в виде десятичной тогда и только тогда, когда в разложении её знаменателя есть только простые множители $2$ и $5$. Например, $\dfrac{1}{12}$, $\dfrac{2}{15}$ в десятичные не обращаются (в и есть множитель ).

1. сокращаем дробь;

2. раскладываем знаменатель на простые множители;

3. умножаем числитель и знаменатель на дополнительный множитель, уравнивающий количество двоек и пятёрок.

Пример 2: $\dfrac{2}{5} = \dfrac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \dfrac{4}{10} = 0{,}4$. На рисунке две полоски одинаковой длины: одной и другой равны.

Пример 3: $\dfrac{3}{8} = \dfrac{3}{2^3} = \dfrac{3 \cdot 5^3}{2^3 \cdot 5^3} = \dfrac{375}{1000} = 0{,}375$; ; — сначала сократили.

Полезно запомнить: $\dfrac{1}{2} = 0{,}5$; $\dfrac{1}{4} = 0{,}25$; ; ; ; ; .

Частая ошибка: потеря нулей — $\dfrac{7}{100} = 0{,}07$, а не $0{,}7$; запись числителя и знаменателя подряд — $\dfrac{3}{4} \ne 3{,}4$; вывод без сокращения дроби — в знаменателе есть , но .