5.2. Подмножество

Подмножество. Если каждый элемент множества $B$ принадлежит множеству $A$, то $B$ называется подмножеством множества $A$. Обозначение: $B \subset A$ (читается: «$B$ — подмножество множества $A$»). Если это не так: $B \not\subset A$.

На диаграмме Эйлера–Венна круг подмножества целиком лежит внутри круга большего множества.

Пример 1: $A = \{2; 4; 6; 8; 10; 12\}$, $B$ — элементы $A$, делящиеся на $4$: . Каждый элемент есть в , поэтому .

На рисунке круг $B$ ($4, 8, 12$) лежит внутри круга $A$, а $2, 6, 10$ — только в $A$.

Равные множества — множества, состоящие из одних и тех же элементов: $\{1; 5; 9\} = \{9; 1; 5\}$. Порядок записи элементов не важен. Если $X \subset Y$ и $Y \subset X$, то .

Правила:

1. Любое множество — подмножество самого себя: $F \subset F$.

2. Пустое множество — подмножество любого множества: $\varnothing \subset F$.

3. Если $A \subset B$ и $B \subset C$, то .

Пример 2: подмножества множества $\{a; b; c\}$: $\varnothing$; $\{a\}, \{b\}, \{c\}$; $\{a;$; — всего .

Пример 3: $A = \{1; 3; 5; 7\}$, $B = \{5; 7; 9\}$. Здесь $9 \in B$, но , поэтому . Достаточно одного «лишнего» элемента.

На рисунке круг $B$ выходит за пределы $A$: число $9$ лежит только в $B$.

Частая ошибка: путать знаки $\in$ и $\subset$. Знак $\in$ ставится между элементом и множеством ($5 \in \{5; 7\}$), а $\subset$ — между двумя множествами (). Кроме того, при подсчёте подмножеств не забывайте про и само множество.