5.3. Пересечение множеств. Объединение множеств

Пересечение множеств — новое множество, состоящее только из элементов, принадлежащих обоим множествам $A$ и $B$. Обозначение: $A \cap B$.

Объединение множеств — новое множество, каждый элемент которого принадлежит хотя бы одному из множеств $A$ и $B$. Обозначение: $A \cup B$.

Множества без общих элементов называются непересекающимися, их пересечение — пустое множество: $A \cap B = \varnothing$. Через $n(A)$ обозначаем число элементов множества $A$.

Правила:

1. Чтобы найти $A \cap B$, ищем каждый элемент $A$ в $B$ и записываем только те, что есть в обоих.

2. Чтобы найти $A \cup B$, сначала выписываем все элементы $A$, затем добавляем элементы , которых нет в . Общие элементы записываются .

Пример 1: $A$ — делители числа $10$, $B$ — делители числа $15$: $A = \{1; 2; 5; 10\}$, . Числа, которые есть в обоих: .

На рисунке закрашено $A \cap B$: $1$ и $5$ стоят в общей части двух кругов.

Пример 2: Объединение тех же множеств: $A \cup B = \{1; 2; 3; 5; 10; 15\}$. Проверка: $n(A \cup B) = 4 + 4 - 2 = 6$.

На рисунке закрашено $A \cup B$ — оба круга целиком.

Пример 3: В классе $14$ учеников ходят на шахматы, $9$ — на домбру, а $5$ — в оба кружка. Ходят хотя бы в один кружок: $14 + 9 - 5 = 18$ учеников.

Частая ошибка: записывать или считать общие элементы в объединении дважды: $n(A \cup B) = 4 + 4 = 8$ — неверно. Также $\{0\}$ — не пустое множество, в нём один элемент; пустое множество — $\varnothing$.