7.3. Сравнение углов. Виды углов. Угольник

Сравнение углов. Углы, как и другие фигуры, сравнивают наложением: один угол накладывают на другой так, чтобы совпали вершины и одна из сторон. Если совпали и вторые стороны, углы равны; если один угол лежит внутри другого, он меньше. Равные углы на рисунке отмечают одинаковыми дугами: $\angle 1 = \angle 2$.

Правила:

1. Градусные меры равных углов равны. Больше тот угол, градусная мера которого больше, меньше — у которого меньше: если $\angle A = 72^\circ$, $\angle B = 118^\circ$, то $\angle A < \angle B$.

2. Острый угол — угол, градусная мера которого меньше $90^\circ$.

3. Прямой угол — угол, градусная мера которого равна $90^\circ$; он равен половине развёрнутого угла ($180^\circ : 2 = 90^\circ$). На рисунке его отмечают маленьким квадратиком.

4. Тупой угол — угол, градусная мера которого больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$.

5. Развёрнутый угол — $180^\circ$; полный угол — угол вокруг любой точки, $180^\circ \cdot 2 = 360^\circ$.

6. Любой острый угол меньше прямого, а любой тупой угол больше прямого.

На рисунке слева направо: острый ($50^\circ$), прямой ($90^\circ$), тупой ($130^\circ$) и развёрнутый (${180}^{}$) углы.

Угольник. Один его угол прямой, два других — $45^\circ$ и $45^\circ$ или $30^\circ$ и ${60}^{}$. Чтобы построить прямой угол: чертим луч ; вершину прямого угла угольника совмещаем с точкой , одну его сторону кладём вдоль ; вдоль второй стороны проводим луч . Тогда .

Пример 1: $AOB$ — развёрнутый угол, $OC$ — луч, $\angle AOC = 125^\circ$. Тогда $\mathrm{\angle }COB={}^{}$: — тупой, — острый угол.

Пример 2: если приложить углы $45^\circ$ и $60^\circ$ двух угольников вплотную к одной вершине, получится $\angle AOB = 45^\circ + 60^\circ = 105^\circ$ — тупой угол.

На рисунке угол $45^\circ$ жёлтого угольника и угол $60^\circ$ зелёного угольника вместе образуют угол $AOB$ в $105^\circ$.

Пример 3: в $2:00$ угол между стрелками равен $2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$ — острый угол (между соседними числами циферблата ${360}^{}$).

Частые ошибки: называть $180^\circ$ тупым углом (это развёрнутый угол); оценивать угол по длине его сторон на рисунке — величина угла не зависит от длины сторон; думать, что «сумма двух острых углов тоже острый угол»: $50^\circ + 60^\circ = 110^\circ$.