9.1. Прямоугольный параллелепипед. Развёртка прямоугольного параллелепипеда

Прямоугольный параллелепипед — тело, поверхность которого состоит из $6$ прямоугольников (спичечный коробок, кирпич, шкаф). Эти прямоугольники — его грани, стороны граней — рёбра, концы рёбер — вершины.

Основные свойства:

1. У прямоугольного параллелепипеда $6$ граней, $12$ рёбер, $8$ вершин. В каждой вершине сходятся $3$ ребра.

2. Противоположные грани равны. Поэтому $12$ рёбер делятся на $3$ группы: в каждой группе $4$ равных ребра.

3. Три ребра, выходящие из одной вершины, — длина $a$, ширина $b$, высота $c$; их называют измерениями параллелепипеда.

4. Сумма длин всех рёбер: $4 \cdot (a + b + c)$.

5. Площадь поверхности: $S = 2 \cdot (a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c)$.

Куб — прямоугольный параллелепипед, у которого все измерения равны. $6$ граней куба — равные квадраты. Если ребро $a$, то сумма рёбер $12 \cdot a$, площадь поверхности $6 \cdot a \cdot a$.

Развёртка — цельная фигура, которая получается, если разрезать параллелепипед по нескольким рёбрам и развернуть на плоскость. Площадь развёртки равна площади поверхности. У куба $11$ различных развёрток.

Пример 1. Длина $4$ см, ширина $3$ см, высота $2$ см. Сумма рёбер: $4 \cdot (4 + 3 + 2) = 36$ см.

На рисунке этот параллелепипед: $ABCD$ — основание, $EFGH$ — верхняя грань.

Пример 2. Площадь поверхности того же параллелепипеда: $2 \cdot (4 \cdot 3 + 4 \cdot 2 + 3 \cdot 2) = 2 \cdot (12 + 8 + 6) = 52$ см².

На рисунке его развёртка: грани одного цвета — противоположные, число внутри — площадь грани (см²). $12 + 12 + 8 + 8 + 6 + 6 = 52$.

Пример 3. Если в развёртке куба три квадрата стоят в один ряд, то крайние из них — противоположные грани куба. На рисунке развёртка куба: квадраты одного цвета при складывании куба становятся противоположными гранями.

Частая ошибка: при нахождении площади поверхности забывают умножить на $2$ (складывают только $3$ грани); сумму рёбер принимают за $a + b + c$ (каждое измерение повторяется $4$ раза). Фигура, в которой есть квадрат $2 \times 2$ или квадратов в одном ряду, не может быть развёрткой куба.