9.2. Задачи на разрезание фигур. Задачи на составление фигур

Развёртка пространственной фигуры — плоская фигура, которая получается, если разрезать фигуру по некоторым рёбрам и развернуть на плоскость. Развёртка куба — $6$ одинаковых квадратов, прямоугольного параллелепипеда — $6$ прямоугольников. Внутренние линии развёртки, связывающие квадраты, — линии сгиба, а её граница — разрезанные рёбра.

Равные фигуры — фигуры, которые при наложении полностью совпадают (их можно поворачивать и переворачивать). Разрезать фигуру на равные части — значит получить части не только равной площади, но и одинаковой формы.

Основные правила:

1. У куба $12$ рёбер. В развёртке одним куском $6$ квадратов связаны $5$ линиями сгиба, поэтому разрезают $12 - 5 = 7$ рёбер. Каждое разрезанное ребро встречается на границе развёртки дважды: периметр развёртки куба равен $14$ рёбрам.

2. Квадраты одного ряда развёртки, стоящие через один, — противоположные грани куба. Среди трёх граней, сходящихся в одной вершине, противоположных нет.

3. При разрезании фигуры или составлении её из частей площадь сохраняется, а периметр может измениться.

4. Если разрезать фигуру по прямой на две части, сумма периметров частей больше исходного периметра на удвоенную длину линии разреза.

5. $n$ разрезов в одном направлении дают $n + 1$ часть; числа частей по разным направлениям перемножаются.

Пример 1: Чтобы получить развёртку куба с ребром $4$ см, разрезают $7$ рёбер, длина линии разреза $7 \cdot 4 = 28$ см.

На рисунке развёртка куба: красная граница — разрезанные рёбра ($14$ отрезков, то есть $7$ рёбер по два раза), пунктир — $5$ линий сгиба.

Пример 2: Разрежем прямоугольник $2 \times 8$ на две части $2 \times 4$ и сложим из них квадрат $4 \times 4$. Площадь не меняется: $2 \cdot 8 = 16 = 4 \cdot 4$. А периметр уменьшается с до .

На рисунке прямоугольник разрезан по красной линии, а части положены одна над другой.

Пример 3: В одном ряду развёртки куба записаны числа $2, 5, 4, 6$. $2$ и $4$, $5$ и $6$ — противоположные грани.

Частая ошибка: считать части равной площади равными частями (должна совпадать и форма) или думать, что при составлении сохраняется и периметр.