1.4. Пропорция. Основное свойство пропорции

Пропорция — равенство двух отношений: $a : b = c : d$ или $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ (где $a, b, c, d$ — числа, не равные нулю). Читается: «отношение $a$ к $b$ равно отношению $c$ к $d$».

$a$ и $d$ — крайние члены пропорции, $b$ и $c$ — средние члены. Например, в пропорции $4{,}2 : 0{,}6 = 6{,}3 : 0{,}9$ крайние члены и , средние — и .

Основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних: $a \cdot d = b \cdot c$. Обратно, если $a \cdot d = b \cdot c$, то $$ — пропорция.

На рисунке верхняя дуга соединяет крайние члены ($4{,}2$ и $0{,}9$), нижняя — средние ($0{,}6$ и $6{,}3$); их произведения равны: $3{,}78$.

Правила:

1. Чтобы проверить, является ли равенство пропорцией, вычисляем и сравниваем оба отношения или сравниваем произведения крайних и средних членов.

2. Неизвестный крайний член = произведение средних членов : известный крайний член.

3. Неизвестный средний член = произведение крайних членов : известный средний член.

4. Если в пропорции поменять местами средние члены, или крайние члены, или перевернуть оба отношения, снова получится пропорция. Из четырёх чисел так можно составить $8$ пропорций.

Пример 1: $x : 6 = 14 : 21$. Здесь $x$ — крайний член: $x = \dfrac{6 \cdot 14}{21} = \dfrac{84}{21} = 4$.

На рисунке умножение «крест-накрест»: $x \cdot 21 = 6 \cdot 14 = 84$, поэтому $x = 84 : 21 = 4$.

Пример 2: $\dfrac{2{,}5}{4} = \dfrac{x}{1{,}6}$. Здесь $$ — средний член: , .

Пример 3: $3$ кг яблок стоят $1\,800$ тенге. Сколько стоят $5$ кг яблок? $3 : 1\,800 = 5 : x$, тенге.

Частая ошибка: при поиске неизвестного умножают крайний член на крайний не «крест-накрест». Помни: произведения всегда берутся «крест-накрест» — $a$ и $d$, $b$ и $c$. Найдя ответ, подставь его и проверь, что $a \cdot d = b \cdot c$.