1.6. Обратная пропорциональная зависимость

Обратно пропорциональная зависимость — зависимость двух величин, при которой с увеличением (уменьшением) одной из них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

Например, одну работу $4$ рабочих выполняют за $120$ часов, $8$ рабочих — за $60$ часов, $16$ рабочих — за $30$ часов: рабочих в $2$ раза больше — времени в $2$ раза меньше.

На рисунке ширина прямоугольника — число рабочих, высота — число часов: ширина растёт в $2$ раза, высота уменьшается в $2$ раза, а площадь не меняется: $4 \cdot 120 = 8 \cdot 60 = 16 \cdot 30 = 480$.

Основные свойства:

1. Отношение двух значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой: $\dfrac{y_1}{y_2} = \dfrac{x_2}{x_1}$.

Пример 1: со скоростью $60$ км/ч путь занимает $3$ ч. Сколько часов при скорости $90$ км/ч? Обратная пропорция: $\dfrac{60}{90} = \dfrac{x}{3}$, ч.

Деление числа обратно пропорционально данным числам: делим число прямо пропорционально обратным к ним числам.

Пример 2: разделим $50$ обратно пропорционально числам $2$ и $3$. $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6}$; ; части и . .

На рисунке $50 = 30 + 20$: меньшему числу $2$ досталась большая часть $30$, большему числу $3$ — меньшая часть $20$, произведения равны: $$.

Пример 3: $6$ кранов разгружают груз за $10$ часов. За сколько часов его разгрузят $4$ крана? $6 \cdot 10 = 60$; $60 : 4 = 15$ ч.

Частая ошибка: составлять для обратной зависимости прямую пропорцию ($\dfrac{60}{90} = \dfrac{3}{x}$) или при делении обратно пропорционально отдавать большему числу большую часть. Проверка: скорость выросла — время должно уменьшиться, произведения должны быть равны.