10.2. График линейного уравнения с двумя переменными

Графиком линейного уравнения с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения. Каждое решение $(x; y)$ — одна точка; координаты любой точки графика — решение уравнения.

1. Если в уравнении $ax + by + c = 0$ хотя бы один из коэффициентов $a$, $b$ не равен нулю, то его график — прямая. Поэтому уравнение имеет бесконечно много решений.

2. Чтобы построить прямую, достаточно двух точек: находим два решения и проводим через эти точки прямую. Удобные способы: положить $x = 0$ и $y = 0$ и найти точки пересечения прямой с осями; или выразить $y$ через $x$ и дать $x$ два значения.

3. Если $b = 0$, $a \ne 0$, уравнение принимает вид $ax + c = 0$: график — прямая, оси . Если , , то : график — прямая, параллельная оси .

4. Если $a = 0$, $b = 0$, $c \ne 0$, решений нет (графика нет); если $a=b=c=$, то любая точка плоскости — решение.

5. Если $c = 0$ ($ax + by = 0$), прямая проходит через начало координат $O(0; 0)$.

Пример 1: $x + 2y - 6 = 0$. При $x = 0$: $2y = 6$, — . При : — . Через и проводим прямую. Проверка: точка тоже лежит на ней, так как .

На рисунке построен график уравнения $x + 2y - 6 = 0$, проходящий через точки $A$, $B$, $C$.

Пример 2: $2x + 6 = 0$, то есть $x = -3$, а $y$ — любое число: график — прямая, проходящая через $(-3; 0)$ параллельно . , то есть : график — прямая, проходящая через параллельно . Прямые пересекаются в точке .

На рисунке показаны эти две прямые и их общая точка $K$.

Пример 3: для $3x - y - 2 = 0$ имеем $y = 3x - 2$. При $x = 1$: ; при : . График — прямая, проходящая через точки и .

Частая ошибка: путать порядок координат точки пересечения (точка на оси $Ox$ — $(6; 0)$, а не $(0; 6)$); считать график $2x + 6 = 0$ параллельным ; терять знак при выражении .