10.5. Решение систем линейных уравнений с двумя переменными способом сложения

Способ сложения — способ решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными, при котором уравнения почленно складывают (или вычитают) и одна переменная исчезает. Получается уравнение с одной переменной.

Почленно сложить уравнения — сложить отдельно их левые части и отдельно правые: если $a = b$ и $c = d$, то $a + c = b + d$.

Порядок решения способом сложения:

1. Умножаем уравнения (одно или оба) на подходящие числа так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами. Умножаем обе части уравнения.

2. Почленно складываем уравнения — одна переменная исчезает.

3. Решаем полученное уравнение с одной переменной.

4. Подставляем найденное значение в любое уравнение системы и находим вторую переменную. Ответ записываем парой $(x; y)$.

Если коэффициенты равны, уравнения почленно вычитаем (или умножаем одно из них на $-1$ и складываем).

Пример 1 (коэффициенты противоположны): $\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ 4x - 3y = 6 \end{cases}$. Складываем: $$, . Затем , , . Ответ: .

На рисунке прямые этих двух уравнений пересекаются в точке $M(3; 2)$ — решение, найденное способом сложения, совпадает с графическим.

Пример 2 (коэффициенты равны): $\begin{cases} 3x + 2y = 16 \\ x + 2y = 8 \end{cases}$. Вычитаем из первого уравнения второе: $$, ; , . Ответ: .

На рисунке именно эта система: синий круг — $x$, жёлтый квадрат — $y$. В обеих строках по два квадрата; если их убрать, $2$ круга $= 16 - 8 = 8$.

Пример 3 (нужно умножить): $\begin{cases} 3x + 4y = 5 \\ 2x - 3y = -8 \end{cases}$. Первое умножаем на $$, второе на : и . Складываем: , ; , . Ответ: .

Частая ошибка: умножить только левую часть уравнения и забыть про правую; перепутать знаки при вычитании; найти одну переменную и не найти вторую.