2.10. Свойства сложения рациональных чисел

Свойства сложения натуральных чисел выполняются и для рациональных чисел (для отрицательных чисел и дробей тоже).

Переместительное свойство сложения: от перестановки слагаемых значение суммы не меняется: $a + b = b + a$. Например, $-9 + 4 = -5$ и $4 + (-9) = -5$.

Сочетательное свойство сложения: чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего: $(a + b) + c = a + (b + c)$. Например, $(7+(-5))+(-15)=$ и .

Нуль и противоположные числа:

1. $a + 0 = 0 + a = a$ — при прибавлении нуля число не меняется.

2. $a + (-a) = 0$ — сумма противоположных чисел равна нулю.

Удобные способы вычисления (применяя оба свойства, переставляем и группируем слагаемые):

1. Сначала объединяем в пары противоположные числа — каждая пара даёт $0$.

2. Группируем слагаемые, сумма которых — «круглое» число: $-3{,}6 + 8{,}25 + (-6{,}4) + 1{,}75 = (-3{,}6 + (-6{,}4)) + (8{,}25 + 1{,}75) = -10 + 10 = 0$.

Пример 1: $-4 + (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 0$. На рисунке противоположные числа соединены дугами: сумма каждой пары равна , а прибавление ничего не меняет.

Так же $-50 + (-49) + \ldots + 49 + 50 = 0$, а $-50 + \ldots + 50 + 51 = 51$.

Пример 2: сумма чисел на карточках рисунка. Отрицательные (синие): $-8 + (-6) + (-9) = -23$. Положительные (зелёные): $13 + 7 = 20$. Всего: .

Частая ошибка: при перестановке число переносится вместе со своим знаком: $7 + (-5) = -5 + 7$, а не $5 + 7$. Ещё одна ошибка: записывать $a + (-a)$ как — правильно .