2.14. Переместительное и сочетательное свойства умножения

При умножении рациональных чисел выполняются те же законы, что и для натуральных чисел.

Переместительное свойство: от перестановки множителей значение произведения не меняется: $a \cdot b = b \cdot a$. Например, $(-7) \cdot 0{,}3 = 0{,}3 \cdot (-7) = -2{,}1$.

На рисунке одни и те же $15$ квадратов расположены двумя способами: $3$ строки по $5$ и $5$ строк по $3$, поэтому $3 \cdot 5 = 5 \cdot 3$.

Сочетательное свойство: чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.

Следствия и правила:

1. При умножении нескольких чисел множители можно как угодно переставлять и объединять в группы. Удобные пары: $2 \cdot 5 = 10$, $4 \cdot 25 = 100$, $8 \cdot 125 = 1000$, , , .

Пример 1: $(-4) \cdot 1{,}3 \cdot (-25) \cdot 2 = \big((-4) \cdot (-25)\big) \cdot (1{,}3 \cdot 2) = 100 \cdot 2{,}6 = 260$.

На рисунке множители этого примера сгруппированы в пары: произведение $-4$ и $-25$ равно $100$, а произведение $1{,}3$ и $2$ равно $2{,}6$.

Пример 2: $(-2) \cdot 3 \cdot (-1) \cdot (-5)$: отрицательных множителей три — нечётное число, поэтому произведение отрицательно; модуль $2 \cdot 3 \cdot 1 \cdot 5 = 30$. Ответ .

Пример 3: $(-6x) \cdot (-2y) = \big((-6) \cdot (-2)\big) \cdot xy = 12xy$.

Частая ошибка: потерять минус множителя при перестановке; посчитать не все отрицательные множители (особенно в записях вида $-a$); не заметить среди множителей $0$; сложить коэффициенты вместо умножения.