2.17. Запись рациональных чисел в виде периодических десятичных дробей

Чтобы обратить обыкновенную дробь в десятичную, делим числитель на знаменатель (уголком). Возможны два случая.

Конечная десятичная дробь — дробь с конечным числом цифр после запятой: $\dfrac{7}{40} = 0{,}175$.

Периодическая десятичная дробь — дробь, в которой после запятой бесконечно повторяется цифра или группа цифр. Повторяющаяся группа называется периодом, её записывают один раз в скобках: $0{,}333\ldots = 0{,}(3)$ (читается: «$0$ целых и $3$ в периоде»).

Правила (дробь должна быть несократимой!):

1. Если простые множители знаменателя — только $2$ и $5$, дробь обращается в конечную десятичную: $40 = 2^3 \cdot 5$.

2. Если в знаменателе нет ни $2$, ни — дробь, период начинается сразу после запятой: .

Пример 1. $\dfrac{4}{15}$: $15 = 3 \cdot 5$ — смешанная периодическая. $40 : 15 = 2$ (ост. ), (ост. ) — остаток повторился. .

На рисунке $4 : 15$ делится уголком: после одинакового красного остатка деление повторяется.

Пример 2. $25$-я цифра после запятой дроби $\dfrac{3}{11} = 0{,}(27)$. В периоде $2$ цифры, $$ — полных периодов и -я цифра следующего: .

На рисунке цифры дроби $0{,}(27)$ с номерами мест: на нечётных местах $2$, на чётных — $7$.

Пример 3. Сравним $0{,}(3)$ и $0{,}34$. Выпишем цифры: $0{,}3333\ldots$ и $0{,}3400$. $2$-я цифра: , значит, .

Частая ошибка: не сократить дробь сначала ($\dfrac{21}{35} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6$ — конечная); путать записи и ; при поиске -й цифры не исключить цифры до периода.