2.18. Перевод бесконечной периодической дроби в обыкновенную

Бесконечная периодическая десятичная дробь — рациональное число, поэтому её всегда можно записать в виде обыкновенной дроби. Основа перевода — три равенства:

$\dfrac{1}{9} = 0{,}(1)$, $\dfrac{1}{99} = 0{,}(01)$, $\dfrac{1}{999} = 0{,}(001)$.

Чистая периодическая дробь (период начинается сразу после запятой):

1. Дробную часть записываем как произведение одного из чисел $0{,}(1)$, $0{,}(01)$, $0{,}(001)$ на натуральное число: $\mathrm{0,}(45)=\mathrm{0,}(01)\cdot 45={\displaystyle \frac{1}{99}}\cdot 45={\displaystyle \frac{45}{99}}$.

Пример 1: $0{,}(45) = \dfrac{45}{99} = \dfrac{5}{11}$ (сократили числитель и знаменатель на ).

На рисунке показано, что каждой цифре периода соответствует одна девятка в знаменателе.

Смешанная периодическая дробь (между запятой и периодом есть цифры, не входящие в период), например $0{,}3(18)$:

1. умножаем дробь на $10$, $100$, $1000$ … так, чтобы запятая встала перед периодом, — получается чистая периодическая дробь;

2. переводим полученную чистую периодическую дробь в обыкновенную (смешанное число);

3. результат делим на ту же разрядную единицу, на которую умножали вначале.

Пример 2: $0{,}3(18) \cdot 10 = 3{,}(18) = 3\dfrac{18}{99} = 3\dfrac{2}{11} = \dfrac{35}{11}$; .

На рисунке шаги этого примера: умножение на $10$, перевод чистой периодической дроби, деление на $10$.

Пример 3: $0{,}(6) + 1{,}(3) = \dfrac{6}{9} + 1\dfrac{3}{9} = 1\dfrac{9}{9} = 2$. Чтобы складывать, вычитать и сравнивать периодические дроби, сначала переводим их в обыкновенные.

Частая ошибка: записать $0{,}(45)$ как $\dfrac{45}{100}$ ($\dfrac{45}{100} = 0{,}45$ — конечная дробь); в смешанной периодической дроби считать периодом все цифры после запятой (); забыть в конце разделить на разрядную единицу или сократить дробь.