2.3. Целые числа. Рациональные числа

Целые числа — натуральные числа, противоположные им числа и число $0$. Множество целых чисел обозначается буквой $Z$: $Z = \{\ldots; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; \ldots\}$.

Множество натуральных чисел $N = \{1; 2; 3; \ldots\}$ — часть множества целых чисел: $N \subset Z$. Натуральные числа называют целыми положительными, противоположные им — целыми отрицательными числами. $0$ — целое число, но не натуральное.

Рациональное число — число, которое можно записать в виде $\dfrac{m}{n}$, где $m$ — целое число ($m \in Z$), $n$ — натуральное число (). Множество рациональных чисел обозначается буквой . Целые числа, положительные и отрицательные дроби образуют множество рациональных чисел.

Основные правила:

1. Любое целое число рационально: $m = \dfrac{m}{1}$, например $-6 = \dfrac{-6}{1}$, .

Пример 1: сколько целых чисел между $-2{,}5$ и $3\dfrac{1}{3}$? $-2{,}5$ лежит между $-3$ и , — между и . Целые числа: — чисел.

На рисунке $6$ целых чисел между границами $-2{,}5$ и $3\dfrac{1}{3}$ отмечены красными точками.

Пример 2: запишем $-4\dfrac{3}{5}$ в виде $\dfrac{m}{n}$: $$, значит .

Пример 3: классифицируем числа $-3$; $\dfrac{0}{7}$; $2{,}4$; $\dfrac{10}{5}$: ; и — целые, но не натуральные; — нецелое рациональное число.

На рисунке эти числа на кругах Эйлера–Венна: $\dfrac{10}{5}$ — внутри $N$, $-3$ и $\dfrac{0}{7}$ — внутри , но вне , — только внутри .

Частая ошибка: считать $0$ натуральным числом или забывать $0$ при подсчёте целых чисел; думать, что «отрицательное число не бывает целым»; писать минус в знаменателе ($\dfrac{5}{-3}$) — знаменатель должен быть натуральным.