2.5. Сравнение рациональных чисел

На координатной прямой из двух чисел большее расположено правее, меньшее — левее. Из этого следуют правила сравнения рациональных чисел.

Правила:

1. Любое положительное число больше $0$: если $a > 0$, то $a$ — положительное число.

2. Любое отрицательное число меньше $0$: если $a < 0$, то $a$ — отрицательное число.

3. Любое отрицательное число меньше любого положительного: $-100 < 0{,}1$.

4. Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше (оно ближе к $0$): $|-3| < |-8|$, поэтому $-3 > -8$.

5. Чтобы сравнить отрицательные дроби, сначала сравниваем их модули (положительные дроби), затем меняем знак сравнения на противоположный.

Двойное неравенство $-3 < x \le 2$ означает: «$x$ больше $-3$ и не больше $2$». Ему удовлетворяют целые числа $-2;-1;0;$ — всего чисел. При знаке крайнее число не входит, при знаке — входит.

На рисунке $-3$ — пустая точка (не входит), $2$ — закрашенная (входит); целых чисел в синем промежутке — $5$.

Пример 1. Сравним $-\dfrac{3}{4}$ и $-\dfrac{2}{3}$. Приведём модули к общему знаменателю: $$, . , то есть модуль больше у . Значит, .

На рисунке промежуток от $-1$ до $0$ разделён на $12$ частей: $-\dfrac{3}{4} = -\dfrac{9}{12}$ левее, правее.

Пример 2. $-2{,}35$ и $-2{,}4$: модули $2{,}35 < 2{,}40$, поэтому $-2{,}35 > -2{,}4$.

Пример 3. Запишем в порядке возрастания: $1{,}5;\ -4;\ 0;\ -0{,}5;\ -7$. Сначала отрицательные (начиная с наибольшего модуля), затем $0$, затем положительные: $-7 < -4 < -0{,}5 < 0 < 1{,}5$.

На рисунке эти числа на координатной прямой: читая слева направо, получаем порядок возрастания.

Частая ошибка: сравнивать отрицательные числа как положительные: «$8 > 3$, значит, $-8 > -3$» — это неверно! У отрицательных чисел то, у которого модуль больше, лежит на координатной прямой дальше влево, поэтому оно меньше. Для проверки представьте прямую: $-8$ левее, $-3$ правее.