2.6. Сложные задачи на движение по реке

Скорость лодки на реке складывается из двух скоростей: собственной скорости $v_{с}$ (скорость в стоячей воде, например на озере) и скорости течения $v_{т}$. Плот (бревно, шляпа) сам не плывёт, поэтому его скорость равна скорости течения.

Основные формулы:

1. По течению: $v_{по} = v_{с} + v_{т}$; против течения: .

2. Собственная скорость: $v_{с} = (v_{по} + v_{пр}) : 2$; скорость течения: .

3. $v_{по} - v_{пр} = 2 \cdot v_{т}$ — скорость по течению больше скорости против течения на скорость течения.

4. Если две лодки (или лодка и плот) плывут по одной реке, течение сносит их одинаково. Поэтому скорость сближения и удаления зависит только от собственных скоростей: навстречу $v_1 + v_2$, в одном направлении $v_1 - v_2$.

5. Если расстояние неизвестно, принимаем его за $1$: если путь проходится за $t$ часов, то скорость — $\dfrac{1}{t}$ пути в час.

Пример 1. На рисунке собственная скорость катера $17$ км/ч, течение $3$ км/ч, $AB = 140$ км.

По течению: $140 : (17 + 3) = 7$ ч; обратно, против течения: $140 : (17 - 3) = 10$ ч.

Пример 2. Катер проходит от $A$ до $B$ по течению за $6$ ч, обратно — за $10$ ч. За час по течению он проходит $\dfrac{1}{6}$ пути, против течения — . Течение: . Плот проплывёт за ч.

Пример 3. На рисунке два катера одновременно вышли навстречу друг другу из пристаней $A$ и $B$ ($60$ км): собственные скорости $12$ и $18$ км/ч, течение $2$ км/ч.

Скорость сближения: $(12 + 2) + (18 - 2) = 12 + 18 = 30$ км/ч, время до встречи $60 : 30 = 2$ ч.

Частая ошибка: брать скорость течения равной $v_{по} - v_{пр}$ и забывать делить на $2$; прибавлять течение на озере (на озере течения нет); давать плоту собственную скорость.