2.7. Сложение рациональных чисел с помощью координатной прямой

Сложение рациональных чисел с помощью координатной прямой — это перемещение точки, соответствующей первому слагаемому, на столько единичных отрезков, сколько указывает второе слагаемое. Знак «$+$» слагаемого означает перемещение в положительном направлении (вправо), знак «$-$» — в отрицательном направлении (влево).

Правило нахождения суммы $a + b$:

1. Отмечаем на координатной прямой точку $A(a)$, соответствующую числу $a$.

2. Если $b > 0$, перемещаем точку $A$ в положительном направлении (вправо) на $b$ единичных отрезков.

3. Если $b < 0$, перемещаем точку $A$ в отрицательном направлении (влево) на $|b|$ единичных отрезков.

4. Координата точки $B$, в которую попала точка, — искомая сумма $a + b$.

Пример 1: $-4 + 7$. От точки $A(-4)$ отсчитываем вправо $7$ единиц: $-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3$. Значит, .

На рисунке точка $A(-4)$ переместилась в положительном направлении на $7$ единиц и попала в точку $B(3)$.

Пример 2: $3 + (-5)$. От точки $A(3)$ влево на $5$ единиц: $2, 1, 0, -1, -2$. Значит, .

На рисунке точка $A(3)$ переместилась в отрицательном направлении на $5$ единиц и попала в точку $B(-2)$.

Пример 3: $-2 + 6 + (-7)$. Выполняем перемещения по порядку: от точки $A(-2)$ вправо на $6$ единиц — точка $4$; от неё влево на единиц — точка . Значит, .

На рисунке показаны два перемещения: сначала $+6$ (верхняя дуга), затем $-7$ (нижняя дуга), точка попадает в $B(-3)$.

Запомни:

1. При прибавлении нуля точка остаётся на месте: $a + 0 = a$.

2. Сумма противоположных чисел равна нулю: $a + (-a) = 0$ (точка возвращается в начало отсчёта $O$).

Частая ошибка: считать саму начальную точку первым шагом («$-4$ — это первый шаг») или путать направление. Шаги отсчитываем со следующего штриха; при прибавлении отрицательного числа точка всегда движется влево.