3.1. Алгебраические выражения. Переменная. Алгебраическая сумма

Алгебраическое выражение — запись, составленная из чисел, букв, знаков действий и (при необходимости) скобок. Например: $3a - 7$, $2(a + b)$, $\dfrac{x - 5}{4}$, $n$. Выражение без букв — числовое выражение: $(-4) \cdot 2 + 9$.

Переменная — буква в выражении, которая может принимать разные значения. Например, периметр прямоугольника длиной $a$ и шириной $b$ равен $2(a + b)$: при $a = 7$, $b = 4$ получаем , а при , — .

На рисунке этот прямоугольник: его стороны заданы не числами, а буквами $a$ и $b$.

Основные правила:

1. Чтобы найти значение выражения, подставляем вместо каждой буквы её значение и вычисляем полученное числовое выражение по порядку действий. Отрицательные числа и дроби подставляем в скобках.

2. Если буква стоит в знаменателе дроби, знаменатель не должен равняться $0$. Значения, при которых выражение имеет смысл, — допустимые значения переменной.

3. Алгебраическая сумма — запись нескольких выражений со знаками «$+$» и «$-$»; её слагаемые берутся со своими знаками.

4. В алгебраической сумме опускаем «$+$» и скобки и пишем каждое слагаемое со своим знаком: $3a+(-2b)+(-5)$.

Пример 1: значение выражения $\dfrac{4x - 1}{3}$ при $x = -2$: ${\displaystyle \frac{4\cdot (-2)-1}{3}}$.

На рисунке это вычисление показано цепочкой: $-2$ умножаем на $4$, вычитаем $1$, делим на $3$.

Пример 2: в выражении $\dfrac{6}{x + 4}$ при $x = -4$ знаменатель $-4 + 4 = 0$. Поэтому допустимые значения: .

Пример 3: слагаемые алгебраической суммы $7a - 4b + c - 6$: $7a$; $-4b$; $c$; .

Частая ошибка: подставлять отрицательное число без скобок. При $b = -4$: $3 - 2b = 3 - 2 \cdot (-4) = 3 + 8 = 11$, а не .