3.4. Тождества. Тождественные преобразования

Тождество — равенство, верное при любых (допустимых) значениях переменных. Например, $a + b = b + a$, $3(x + 5) = 3x + 15$.

Тождественно равные выражения — два выражения, соответственные значения которых равны при любых значениях переменных. Левая и правая части тождества — тождественно равные выражения.

Тождественное преобразование — замена выражения тождественно равным ему выражением.

Основные правила:

1. Свойства действий — тождества: $ab = ba$, $(ab)c = a(bc)$, $a(b + c) = ab + ac$, , , . Верные числовые равенства тоже считаются тождествами.

Пример 1: $x(y + 5) = xy + 5x$ — тождество. При $x = -3$, $y = 2$: и .

На рисунке площадь прямоугольника записана двумя способами: целиком $3(x + 5)$, по частям $3x + 15$. Значит, $3(x + 5) = 3x + 15$.

Пример 2: значение выражения $9m - 4m$ при $m = -0{,}6$. Сначала упростим: $9m - 4m = 5m$, затем — всего одно действие.

Пример 3: $2(a + 3) = 2a + 3$ не тождество: при $a = 0$ получаем $6 \ne 3$. А — тождество.

На рисунке значения трёх выражений: значения $2(a + 3)$ и $2a + 6$ в каждом столбце одинаковы, а значения $2a + 3$ всегда меньше на $3$.

Частая ошибка: считать равенство тождеством, если оно верно при одном значении; при раскрытии скобок умножать только первое слагаемое: $2(a + 3) \ne 2a + 3$.