3.5. Цепные дроби

Многоэтажная дробь — дробь, в числителе или знаменателе (или в обоих) которой есть дроби: $\dfrac{\dfrac{2}{3}}{\dfrac{7}{9}}$, $\dfrac{2 + \dfrac{1}{2}}{\dfrac{3}{4}}$. Главная (самая длинная) дробная черта — знак деления: $\dfrac{\dfrac{2}{3}}{\dfrac{7}{9}} = \dfrac{2}{3} : \dfrac{7}{9}$. Поэтому $\dfrac{\dfrac{8}{4}}{2} = 1$, а $\dfrac{8}{\dfrac{4}{2}} = 4$ — положение главной черты важно.

Способы нахождения значения:

1. По действиям: отдельно вычисляем числитель и знаменатель и делим числитель на знаменатель (деление на дробь — умножение на обратную дробь).

2. Умножение на НОК: находим НОК знаменателей внутренних дробей и умножаем на него каждое слагаемое числителя и знаменателя — дроби исчезают, остаются натуральные числа, а значение не меняется.

Пример 1: $\dfrac{\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{6}}{\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}}$. НОК: . По действиям: — то же самое.

Многоэтажные дроби с несколькими этажами (вида $2 + \dfrac{1}{3 + \dfrac{1}{4}}$; их называют также цепными дробями) вычисляются начиная с самого нижнего этажа, снизу вверх.

Пример 2: $2 + \dfrac{1}{3 + \dfrac{1}{4}}$: $$; ; .

На рисунке эти три шага показаны по порядку.

Разложение обыкновенной дроби в цепную: выделяем целую часть, оставшуюся правильную дробь «переворачиваем» ($\dfrac{p}{q} = \dfrac{1}{\dfrac{q}{p}}$) и повторяем, пока не останется дробь с числителем .

Пример 3: $\dfrac{13}{5} = 2 + \dfrac{3}{5} = 2 + \dfrac{1}{\dfrac{5}{3}}$; ; . Значит, . Кратко пишут также .

На рисунке от прямоугольника $13 \times 5$ последовательно отрезаны самые большие квадраты: $2$, $1$, $1$, $2$ квадрата — ровно числа этой цепной дроби.

Частые ошибки: умножать числитель на знаменатель (вместо деления); умножать на НОК только одно слагаемое; начинать многоэтажную дробь сверху или в дроби $\dfrac{1}{2 + \dfrac{1}{5}}$ делить $1$ только на .