4.1. Числовые равенства. Свойства верных числовых равенств

Числовое равенство — два равных числовых выражения, соединённые знаком «$=$». Например: $25 = 25$, $9 \cdot (-5) + 2 = -43$. Если значения обеих частей действительно равны, равенство верное, если не равны — неверное (например, $3 \cdot 4 = 15$ неверно).

Свойства верных числовых равенств ($a$, $b$, $c$, $d$ — любые рациональные числа):

1. Если $a = b$ и $b = c$, то $a = c$.

2. К обеим частям верного равенства можно прибавить (вычесть) одно и то же число: если $a = b$, то и .

На рисунке весы в равновесии: $7 \cdot 4 = 20 + 8$. Если на обе чаши положить одинаковое $5$, равновесие не нарушится — это свойство 2.

Следствие: слагаемое можно перенести из одной части равенства в другую, изменив его знак на противоположный.

Пример 1: $18 - 5 = 13$. Прибавим к обеим частям $5$: $18 = 13 + 5$ — слагаемое $-5$ перешло в правую часть как . А если из обеих частей вычесть : , то есть .

Пример 2: почленно сложим равенства $12 : (-4) = -3$ и $5 \cdot 3 = 15$: отдельно складываем левые части и отдельно правые.

На рисунке это сложение записано «столбиком»: $12 : (-4) + 5 \cdot 3 = -3 + 15$, то есть $12 = 12$.

Пример 3: почленно перемножим равенства $4 - 9 = -5$ и $2 \cdot 3 = 6$: $(4 - 9) \cdot 2 \cdot 3 = -5 \cdot 6$, то есть .

Частые ошибки: прибавить число только к одной части или умножить только одну часть; забыть скобки при почленном умножении ($4 - 9 \cdot 2 \cdot 3$ — другое выражение); переносить слагаемое, не меняя знак; делить обе части на $0$ (на нуль делить нельзя).