4.3. Линейные уравнения с одной переменной, содержащей переменную под знаком модуля

Линейные уравнения с переменной под знаком модуля — например, $|x| = 4$, $|x + 2| = 5$, $|2x - 3| = 7$, $3|x| - 2 = 7$.

При их решении используются два факта:

• определение модуля: $|a| = a$, если $a \ge 0$; $|a| = -a$, если $a < 0$; модуль никогда не бывает отрицательным: ;

Правила решения:

1. Уравнение $|x| = d$: если $d > 0$, то два корня: $x = d$ или $x = -d$; если , то один корень ; если , то .

Пример 1: $|x| = 4$. Корни — точки, удалённые от начала отсчёта на $4$ единицы. На рисунке точки $-4$ и $4$ находятся на одинаковом расстоянии $4$ единицы от $$. Ответ: ; .

Пример 2: $|x + 2| = 5$. Способ 1: $|x - (-2)| = 5$, то есть $5$ единиц от точки : и . На рисунке от точки отложено по единиц влево и вправо. Способ 2: , или , . Ответ: ; .

Пример 3: $|2x - 3| = 7$. $2x - 3 = 7$, $2x = 10$, или , , . , . Ответ: ; .

Пример 4: $|x - 1| + 6 = 2$, то есть $|x - 1| = -4$ — решений нет, так как модуль не может быть отрицательным.

Частые ошибки: записать только один корень (для $|x| = 4$ только $4$); для $|x + 2|$ отсчитывать от точки $2$ (правильно — от $-2$); пытаться «решать» уравнение ; раскрывать модуль, не уединив его: записывать как или .