5.1. Числовые неравенства

Числовое неравенство — два числовых выражения, соединённые знаком «$>$» (больше) или «$<$» (меньше). Например: $9 \cdot 4 > 30$, $-7 < 2$. Выражение слева от знака — левая часть неравенства, справа — правая часть. Неравенство, которое действительно выполняется, — верное, а которое не выполняется, — неверное (например, $3 > 5$ неверно).

Правило сравнения чисел с помощью разности:

1. Если $a - b > 0$ (разность положительна), то $a > b$.

2. Если $a - b < 0$ (разность отрицательна), то .

На координатной прямой большее число лежит правее меньшего.

Пример 1: сравним числа $3$ и $-2$: $3 - (-2) = 5 > 0$, поэтому $3 > -2$.

На рисунке точка $A(3)$ лежит на $5$ единиц правее точки $B(-2)$.

Пример 2: сравним площадь прямоугольника со сторонами $6$ см и $4$ см с площадью квадрата со стороной $5$ см: $6 \cdot 4 - 5^2 = 24 - 25 = -1 < 0$, поэтому .

На рисунке чаша весов с надписью $5^2$ опустилась — она «тяжелее».

Пример 3: разность выражений $x + \dfrac{1}{4}$ и $x - \dfrac{1}{2}$: . Значит, при любом выполняется .

Строгие и нестрогие неравенства. Неравенства со знаками «$>$», «$<$» — строгие, а со знаками «$\ge$» (больше или равно, то есть «не меньше»), «$\le$» (меньше или равно, то есть «не больше») — нестрогие. $4 \ge 4$ — верно, так как $$.

Двойное неравенство: условия $x > -3$ и $x < 2$ вместе записывают как $-3 < x < 2$: «$x$ больше , но меньше ».

Неравенства вида $a > b$ и $c > d$ — неравенства одинакового смысла, а $a > b$ и $c < d$ — .

Частая ошибка: записывать «не меньше» знаком «$<$» (правильно — «$\ge$»); считать большим то отрицательное число, у которого больше модуль: на самом деле $-8 < -3$, так как $-8 - (-3) = -5 < 0$.