5.6. Решение систем линейных неравенств с одной переменной

Если нужно найти общие решения двух или нескольких неравенств с одной переменной, их объединяют фигурной скобкой и записывают в виде системы неравенств: $\begin{cases} 3x - 1 > 5 \\ 2x + 1 \leqslant 13 \end{cases}$.

Решение системы — значение переменной, при котором КАЖДОЕ неравенство системы обращается в верное числовое неравенство. Решить систему — значит найти множество всех её решений или доказать, что решений нет. Множество решений системы — пересечение множеств решений входящих в неё неравенств.

Порядок решения:

1. решаем каждое неравенство системы отдельно (с помощью равносильных преобразований);

2. изображаем найденные решения на одной координатной прямой;

3. берём часть, где штриховки перекрываются, и записываем её числовым промежутком или двойным неравенством. Если общей части нет, система не имеет решений: $\varnothing$.

Пример 1: $\begin{cases} 3x - 1 > 5 \\ 2x + 1 \leqslant 13 \end{cases}$ → $\{\begin{array}{l}\end{array}$ → . Ответ: , то есть .

На рисунке 1-я строка — $x > 2$ (точка $2$ выколота), 2-я строка — $x \leqslant 6$ (точка $6$ закрашена); штриховки перекрываются между $2$ и $$.

Пример 2: $\begin{cases} 2x + 3 \leqslant 1 \\ 3x - 2 > 7 \end{cases}$ → $\{\begin{array}{l}\end{array}$.

На рисунке штриховки не перекрываются: число не может быть одновременно не больше $-1$ и больше $3$. Ответ: $\varnothing$.

Пример 3 (двойное неравенство): $-5 < 2x + 1 \leqslant 9$ — краткая запись системы $\begin{cases} 2x + 1 > -5 \\ 2x + 1 \leqslant 9 \end{cases}$. Вычитаем из всех трёх частей и делим на : , . Ответ: .

Неравенства одного направления: $\begin{cases} x > 2 \\ x > 5 \end{cases}$ → $x > 5$; $$ → (остаётся более сильное условие).

Частые ошибки: брать объединение вместо пересечения (включать в ответ числа, удовлетворяющие только одному неравенству); путать, входит ли концевая точка; не менять знак неравенства при делении на отрицательное число.