6.1. Плоскость. Пересекающиеся прямые

Плоскость — ровная поверхность без края, неограниченно продолжающаяся во всех направлениях. Поверхность доски, стола, спокойного озера дают представление о части плоскости; на рисунке тоже изображают только часть плоскости. Плоскость обозначают греческой буквой ($\alpha$, $\beta$, $\gamma$) или тремя её точками, не лежащими на одной прямой: $(ABC)$.

Прямая не имеет концов — она неограниченно продолжается в обе стороны. Две прямые, имеющие ровно одну общую точку, называют пересекающимися прямыми, общая точка — точка пересечения.

Вертикальные углы — два угла, у которых стороны одного являются продолжениями сторон другого.

1. Через две точки можно провести только одну прямую.

2. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести только одну плоскость.

3. При пересечении двух прямых образуются четыре угла с общей вершиной; они составляют две пары вертикальных углов.

4. Вертикальные углы равны.

5. Два соседних угла вместе составляют развёрнутый угол: их сумма $180^\circ$. Сумма всех четырёх углов $360^\circ$.

6. Если одна пара вертикальных углов острые, то другая — тупые; если один угол прямой, то все четыре прямые.

Пример 1: прямые $a$ и $b$ пересеклись, один из углов равен $50^\circ$. Вертикальный ему угол тоже $50^\circ$, а соседние углы — по ${}^{}$.

На рисунке четыре угла, образованные при пересечении прямых $a$ и $b$: вертикальные углы попарно равны.

Пример 2: сумма двух вертикальных углов $96^\circ$. Они равны, поэтому каждый $96^\circ : 2 = 48^\circ$, а два других — по .

Пример 3: прямые $AB$, $CD$, $EF$ пересекаются в точке $O$, $\angle AOC = 40^\circ$, . Лучи и образуют развёрнутый угол, поэтому . Вертикальные углы: , , .

На рисунке три прямые пересекаются в точке $O$, известные углы — $40^\circ$, $60^\circ$, $80^\circ$.

Частая ошибка: считать соседние углы равными; думать, что сумма вертикальных углов равна $180^\circ$; забывать, что три точки могут лежать на одной прямой, и тогда плоскость через них не единственная.