6.3. Параллельные прямые. Параллельные отрезки

Параллельные прямые — две прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются (не имеют ни одной общей точки). Обозначение: $a \parallel b$, читается: «прямая $a$ параллельна прямой $b$».

Параллельные отрезки — отрезки, лежащие на параллельных прямых. Например, противоположные стороны прямоугольника, квадрата параллельны. Длины параллельных отрезков могут быть разными.

На рисунке $k \parallel l$, отрезок $AB$ лежит на прямой $k$, отрезок $CD$ — на прямой $l$, поэтому $AB \parallel CD$.

Свойства:

1. Через точку, не лежащую на прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

2. Если две прямые плоскости перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны: если $c \perp k$ и $d \perp k$, то $c \parallel d$.

3. Если $a \parallel b$ и , то . Иначе через точку пересечения и проходили бы две прямые, параллельные .

Расстояние между параллельными прямыми — длина перпендикуляра, проведённого из точки одной прямой к другой прямой. Оно одинаково во всех местах прямых.

Пример 1: $c \perp k$, $d \perp k$, $L$ и $N$ — точки пересечения, $LN = 3$ см. Тогда , а расстояние между ними см. На рисунке отрезок перпендикулярен обеим прямым.

Пример 2: $m \parallel n$, точка $E$ удалена от $m$ на $2$ см, от $n$ — на $5$ см. Если лежит между прямыми, расстояние равно см; если лежит по одну сторону от обеих прямых, то см. На рисунке показаны оба случая.

Пример 3: Расстояния между параллельными сторонами прямоугольника равны $4$ см и $9$ см, то есть его стороны $4$ см и $9$ см: $P = 2 \cdot (4 + 9) = 26$ см.

Частая ошибка: считать параллельными любые два отрезка без общих точек (прямые, на которых они лежат, могут пересекаться); измерять расстояние наклонным отрезком (только перпендикуляром!); не учитывать два разных положения точки относительно двух прямых.