6.5. Осевая симметрия

Осевая симметрия — симметрия относительно прямой. Точки $A$ и $A_1$ называются симметричными относительно прямой $k$, если прямая $k$ перпендикулярна отрезку $AA_1$ и проходит через его середину: $AA_1 \perp k$, $OA = OA_1$. Прямая $k$ — ось симметрии.

Правила:

1. Чтобы построить точку, симметричную точке $A$, проводим через $A$ перпендикуляр к $k$ ($O$ — точка пересечения) и на нём по другую сторону от $k$ откладываем отрезок $OA_1 = OA$.

На рисунке точки $A$ и $A_1$ симметричны относительно прямой $k$: $AA_1 \perp k$, ; точка на прямой симметрична сама себе.

На координатной плоскости:

1. Относительно оси $Ox$: $(x; y) \to (x; -y)$ — абсцисса сохраняется, ордината меняется на противоположное число.

2. Относительно оси $Oy$: $($ — ордината сохраняется, абсцисса меняется на противоположное число.

Пример 1: точка, симметричная $A(3; 2)$ относительно оси $Ox$, — $A_1(3; -2)$, относительно оси $$ — . Точка на единицы выше оси, — на единицы ниже, поэтому .

На рисунке точки $A(3; 2)$, $A_1(3; -2)$ и $A_2(-3; 2)$.

Фигура, симметричная относительно прямой (осесимметричная фигура), — фигура, которую некоторая прямая делит на две симметричные части; эта прямая — ось симметрии фигуры. У угла $1$ ось (прямая, содержащая биссектрису), у отрезка — $2$, у прямоугольника — $2$, у квадрата — $4$, у равностороннего треугольника — $3$, у окружности — бесконечно много (любая прямая, проходящая через центр).

На рисунке синими прямыми показаны $2$ оси прямоугольника, $4$ оси квадрата и $1$ ось угла.

Пример 2: $k$ — ось симметрии угла $ABC$, $\angle ABC = 80^\circ$. Ось делит угол на два равных угла: $80^\circ : 2 = 40^\circ$.

Частая ошибка: считать диагональ прямоугольника его осью симметрии (при сгибании половины не совпадают); путать правила для осей $Ox$ и $Oy$; «переносить» точку не по перпендикуляру к оси.