6.6. Центральная симметрия

Центральная симметрия — симметрия относительно точки. Эта точка называется центром симметрии.

Определение. Если точка $O$ — середина отрезка $AA_1$, то точки $A$ и $A_1$ называются симметричными относительно точки $O$: $A$, $O$, $A_1$ лежат на одной прямой и $AO = OA_1$.

Правила:

1. Построение точки $A_1$: проводим прямую через $A$ и $O$ и за точкой $O$ откладываем отрезок $OA_1$, равный .

На рисунке треугольник $ABC$ и симметричный ему относительно точки $O$ треугольник $A_1B_1C_1$: — середина отрезков , , .

Центрально-симметричная фигура — фигура, которая вместе с каждой своей точкой содержит и симметричную ей точку относительно $O$. Центр симметрии отрезка — его середина, окружности — её центр, прямоугольника и квадрата — точка пересечения диагоналей; любая точка прямой — её центр симметрии. У треугольника центра симметрии нет.

В координатах:

1. На координатной прямой точка, симметричная $A(a)$ относительно $P(p)$, — это $A_1(2p - a)$: сколько прошли от до , столько же проходим от дальше.

Пример 1: $A(-2)$, $P(3)$: от $A$ до $P$ $5$ единиц, от $P$ вправо ещё единиц, . По формуле: .

На рисунке $AP = PA_1 = 5$.

Пример 2: относительно $O$: $A(4; 2) \to A_1(-4; -2)$, $B(-3;$.

На рисунке отрезки $AA_1$ и $BB_1$ проходят через начало координат $O$ и делятся в этой точке пополам.

Пример 3: относительно точки $E(1; 2)$ точка $M(-2; 3)$: абсцисса $-2 \to 1$ ($+3$), ещё , то есть ; ордината (), ещё , то есть . Значит, .

Частая ошибка: при симметрии относительно $O$ менять знак только одной координаты ($(4; -2)$ — это симметрия относительно оси $Ox$); ставить $A_1$ между и , а не за точкой .