7.1. Расположение фигур в пространстве. Изображение пространственных фигур. Невидимые линии

Плоские фигуры — фигуры, все точки которых лежат в одной плоскости: треугольник, прямоугольник, круг. Пространственные фигуры (геометрические тела): прямоугольный параллелепипед, куб, пирамида, цилиндр, конус, шар.

Элементы многогранников. У прямоугольного параллелепипеда (куба) $8$ вершин, $12$ рёбер, $6$ граней. У пирамиды, основание которой $n$-угольник, $n + 1$ вершина, $2n$ рёбер ($n$ рёбер основания и $n$ боковых рёбер) и $n + 1$ грань ($n$ боковых граней-треугольников и основание).

Тела вращения. При вращении прямоугольника вокруг стороны получается цилиндр, прямоугольного треугольника вокруг катета — конус, полукруга вокруг диаметра — шар.

Правила изображения пространственных фигур на плоскости:

1. параллельные отрезки изображаются параллельными отрезками;

2. отношение длин параллельных отрезков сохраняется (например, середина отрезка изображается серединой);

3. градусные меры углов не сохраняются: квадратная грань куба может изображаться параллелограммом;

4. видимые линии изображаются сплошными линиями;

5. невидимые линии изображаются штриховыми линиями.

Пример 1: На параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ смотрим спереди, справа и сверху. Вершина находится сзади, слева и внизу, поэтому выходящие из неё рёбра , , не видны. Остальные рёбер изображаются сплошными, а видны грани , , .

На рисунке три невидимых ребра изображены штриховыми линиями.

Пример 2: $SABCD$ — четырёхугольная пирамида: $S$ — вершина, $ABCD$ — основание, $SA$, $SB$, , — боковые рёбра, всего рёбер. Если каждое ребро равно см, на каркас нужно см проволоки.

На рисунке рёбра пирамиды $AD$, $DC$, $SD$ невидимы.

Пример 3: Задняя половина окружности нижнего основания цилиндра и конуса, задняя половина «экватора» шара изображаются штриховыми линиями. Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось, — прямоугольник со сторонами $2r$ (диаметр) и $h$ (высота).

На рисунке: $1$ — цилиндр, $2$ — конус, $3$ — шар.

Частые ошибки: не изображать невидимые рёбра совсем или рисовать их сплошными; при подсчёте рёбер пирамиды забывать боковые рёбра ($2n$, а не $n$); в сечении цилиндра брать радиус вместо диаметра.