8.1. Среднее арифметическое нескольких чисел

Средним арифметическим нескольких чисел называется частное от деления суммы этих чисел на их количество (на число слагаемых). Например, среднее арифметическое чисел $a$, $b$, $c$ равно $\dfrac{a + b + c}{3}$.

1. Как найти среднее: складываем все числа и делим сумму на количество чисел. Нули и отрицательные числа тоже учитываются.

2. Обратно: сумма чисел = среднее арифметическое $\cdot$ количество чисел. Это помогает найти неизвестное число.

3. Среднее арифметическое не меньше наименьшего из чисел и не больше наибольшего.

4. Среднее арифметическое двух чисел — середина отрезка, соединяющего точки этих чисел на координатной прямой.

5. Средняя скорость = весь пройденный путь : всё время движения. Так же средняя урожайность (с 1 га) = весь урожай : вся площадь посевов. Эти величины не всегда равны простому среднему арифметическому скоростей (урожайностей).

Пример 1: сумма чисел $7$, $12$, $9$, $15$, $2$ равна $45$, их количество $5$. Среднее: .

На рисунке высоты столбиков — $7$, $12$, $9$, $15$, $2$, а красная пунктирная линия — их среднее $9$. Части выше линии ($3 + 6 = 9$) точно заполняют недостающие части ниже неё ().

Пример 2: среднее четырёх чисел равно $6$, три из них: $3$, $8$, $5$. Сумма четырёх чисел $6 \cdot 4 = 24$, поэтому четвёртое число $$.

Пример 3: автомобиль ехал $2$ ч со скоростью $60$ км/ч, затем $1$ ч со скоростью $90$ км/ч. Путь: $120 + 90 = 210$ км, время: $$ ч. Средняя скорость км/ч (а не !).

Пример 4: среднее чисел $-3$ и $7$: $(-3 + 7) : 2 = 2$. На рисунке точка $M(2)$ удалена от точек и на одинаковые единиц.

Частая ошибка: делить сумму не на количество чисел, а на другое число (например, не считать нули); находить среднюю скорость как среднее арифметическое скоростей.