8.2. Размах, медиана и мода ряда чисел

Чтобы кратко описать ряд чисел, кроме среднего арифметического используют ещё три характеристики.

Размах — разность между наибольшим и наименьшим числами ряда. Он показывает, насколько «разбросаны» числа.

Медиана — число, стоящее ровно посередине упорядоченного ряда.

Мода — число, которое встречается в ряду чаще всего (наибольшее число раз).

Правило нахождения медианы:

1. записываем числа в порядке возрастания (одинаковые числа выписываем каждое отдельно);

2. если количество чисел нечётно, медиана — число ровно посередине;

3. если количество чисел чётно, медиана — среднее арифметическое двух средних чисел.

Пример 1: $7$, $12$, $5$, $9$, $12$, $3$, $10$. Наибольшее $12$, наименьшее $3$, размах $12 - 3 = 9$. По возрастанию: $3$, $5$, $7$, $9$, $10$, $12$, $12$ — семь чисел, среднее стоит на $4$-м месте: медиана $9$. Единственное число, встречающееся дважды, — $12$, значит, мода $12$.

На рисунке дан упорядоченный ряд, медиана на $4$-м месте закрашена.

Пример 2: $4$, $9$, $6$, $2$, $8$, $11$. Упорядочим: $2$, , , , , . Чисел шесть — посередине и , медиана . Медиана может и не входить в сам ряд.

Пример 3: $12$ учеников сказали, сколько книг они прочитали за неделю. На рисунке каждая точка — один ученик. Самый высокий столбик над числом $2$ ($5$ точек), поэтому мода $2$.

Если каждое число встречается по одному разу, ряд не имеет моды. Если чаще всего встречаются несколько чисел, у ряда несколько мод: у ряда $1$, $1$, $4$, $6$, $6$ моды — $1$ и $6$.

Частая ошибка: брать медиану из середины неупорядоченного списка; в ряду с чётным числом членов не делить сумму двух средних чисел на $2$; записывать в моду не само число, а сколько раз оно встретилось (частоту); терять знак отрицательного числа при нахождении размаха: $3 - (-7) = 10$, а не $4$.