9.5. Прямая пропорциональность и её график

Прямая пропорциональность — зависимость между величинами $x$ и $y$, задаваемая формулой $y = kx$. Здесь $x$ — независимая переменная, $y$ — зависимая переменная, $k$ — число, не равное нулю, его называют коэффициентом пропорциональности. Например, путь поезда, идущего с постоянной скоростью $70$ км/ч, равен $s = 70t$, здесь $k = 70$.

Основные свойства:

1. При $x \ne 0$ $\dfrac{y}{x} = k$: отношение соответствующих значений постоянно. Поэтому можно найти по любой одной точке графика (или одной паре значений).

Пример 1: $y = 2x$. Таблица: при $x = -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3$ получаем $$. Эти точки лежат на одной прямой.

На рисунке показаны точки из таблицы и проходящая через них прямая $y = 2x$.

Пример 2: построим график $y = -\dfrac{2}{3}x$. При $x = 3$ получаем $y=-{\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot 3$. Проводим прямую через точки и . , поэтому прямая лежит во II и IV четвертях.

На рисунке показаны точка $A(3; -2)$ (с пунктирными перпендикулярами к осям) и график $y = -\dfrac{2}{3}x$.

Пример 3: график $y = kx$ проходит через $B(-4; 10)$. $k = \dfrac{10}{-4} = -2{,}5$, то есть . Точка принадлежит графику: ; а не принадлежит: .

На рисунке графики при разных значениях $k$: при $k > 0$ — в I и III четвертях, при $k < 0$ — во II и IV четвертях.

Частая ошибка: брать $k = \dfrac{x}{y}$ (верно $k = \dfrac{y}{x}$); не учитывать знак ; считать прямой пропорциональностью формулу вида — её график не проходит через ; читая график, не проверять масштаб на осях (цену одной клетки).